Para obtener las Ecuaciones de Maxwell a partir de las Ecuaciones Minimales que se han escrito anteriormente, estas deben ser previamente particularizadas para procesos energéticos en sistemas o medios en reposo, por que como se sabe, las cuaciones fueron formuladas por Maxwell presuponiendo la existencia de un medio en reposo -el llamado Eter - en el cual se propagan las ondas electromagnéticas con la velocidad de la luz.Maxwell fue un firme creyente de su existencia.
Teniéndose en cuenta que se puede intercambiar el orden en que se toman las derivadas en los primeros términos de las Ecuaciones Minimales anteriores, las que rescribimos a continuación:
Tanto Ue como Tm son funciones de las componentes del campo eléctrico y magnético respectivamente, pero estas a su ves son funciones de las coordenadas espaciales (x1 , x2 , x3 ) y del tiempo t, por lo tanto también serán funciones de las coordenadas espaciales y del tiempo, es decir:
En el caso de un medio o sistema en reposo las coordenadas espaciales x1, x2, x3 no varían en función del tiempo, por lo que las derivadas totales respecto al tiempo de Ue y Tm son iguales a sus derivadas parciales respecto al tiempo. Luego de intercambiar nuevamente el orden de las derivadas, se obtienen las Ecuaciones Minimales para un sistema o medio en reposo las que escribimos a continuación:(1)
(2)
A partir de las Ecuaciones Minimales (1) y (2) procederemos a obtener las Ecuaciones de Maxwell, para lo cual utilizaremos las conocidas expresiones energéticas:(3)
expresa la densidad de energía eléctrica almacenada por unidad de volumen.(4)
expresa la densidad de energía magnética almacenada por unidad de volumen.(5)
expresa la función densidad disipación.
(6)
expresa la potencia suministrada por unidad de volumen.Debe tenerse presente que las componentes Eα y Hα del campo eléctrico y magnético,desde el punto de vista matemático son variables de estado o coordenadas generalizadas.
Efectuando las derivadas parciales de las expresiones (3), (5) y (6) indicadas en las Ecuaciones Minimales (1) se obtiene lo siguiente:
(7)
(8)
(9)
Sustituyendo (7), (8) y (9) en (1) se obtiene la siguiente:
(10)
Utilizando una conocida identidad se tiene para el segundo miembro de (10)(11)
Sustituyendo (11) en el segundo miembro de la ecuación (10), la misma se puede escribir en la forma siguiente:(12)
.las que se pueden escribir en la siguiente en la forma vectorial equivalente:(13)
o en función del vector desplazamiento
y la densidad de corriente J = g E :(14)
Que es la Ecuación de Maxwell que expresa la Ley de Ampere Generalizada.Procediendo en forma similar con las Ecuaciones Minimales (2), el interesado podrá comprobar que se obtiene la siguiente ecuación :
(15)
que es precisamente la Ecuación de Maxwell que expresa la Ley de inducción de Faraday.En forma similar se pueden obtener las Ecuaciones de Maxwell restantes que expresan la Ley de Gauss eléctrica y magnética, teniéndose en cuenta además el Principio de Conservación de la Carga expresado por la ecuación de continuidad, la que escribimos a continuación en su forma diferencial para la carga eléctrica:
(16)
Tomamos la derivada parcial a cada miembro de las ecuaciones de equilibrio (10) con respecto a las coordenadas xa , y teniendo en cuenta una conocida identidad se obtiene la siguiente ecuación:
(17)Para: alfa = 1,2,3
Sumando las ecuaciones (17) y luego de factorizar términos se obtiene:
(18)
La que se puede escribir en la forma siguiente:
(19)
Recordando que
la ecuación (19) se reduce a la siguiente:(20)
Puesto que la ecuación (20) debe ser consistente con la ecuación de continuidad (16), se deduce, que debe cumplirse:(21)
que es la tercera Ecuación de Maxwell que expresa la Ley de Gauss eléctrica.Procediendo en forma similar, el interesado podrá obtener la cuarta Ecuación de Maxwell siguiente:
(22)
CONCLUSIONES
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