2. Obtención de las Ecuaciones de Maxwell para medios en movimiento lento a partir de las Ecuaciones Minimales.

-->

Todo estudioso del electromagnetismo sabe que en la física clásica newtoniana las leyes de la mecánica son invariantes bajo las transformaciones galileanas, pero, en cambio las leyes del electromagnetismo expresadas por las Ecuaciones de Maxwell no lo son. Solo son invariantes dentro del marco de la Teoría de la Relatividad de Einstein, donde los sistemas inerciales están relacionados mediante las ecuaciones de transformación de Lorentz, en lugar de las galileanas. Por lo que seguramente causará sorpresa y hasta incredulidad lo que se demuestra a continuación, en todo caso espero que motive un debate serio al respecto por parte de los interesados.

-->

Fig. Sistema de referencia S' que se mueve con la velocidad v respecto al sistema S.

En el caso de un movimiento lento, es decir que la velocidad v con que se mueve el sistema

--> S’ es muy pequeña en comparación con c (c velocidad de la luz) tal que (v/c)² = 0, las ecuaciones de transformación de Lorentz, se reducen a las Galileanas de la Física clásica Newtoniana, las que se escriben a continuación:

A partir de las Ecuaciones Energéticas Minimales, demostraremos que en este caso , no obstante utilizarce las ecuaciones de transformación Galileanas (1), (2), (3), (4), las Ecuaciones de Maxwell conservan su invariancia en sistemas inerciales, es decir formalmente son las mismas en el sistema estacionario S y el sistema en movimiento S’ lo que se ilustra en el cuadro adjunto, pero en cambio el campo electromagnético se transforma.

-->

En el capítulo1 anteriormente publicado en el blog, se utilizaron las Ecuaciones Minimales particularizadas para el caso de un medio en reposo, para obtener las cuatro Ecuaciones de Maxwell, en esta oportunidad partiremos de las Ecuaciones Minimales para un medio o sistema en general en movimiento las que escribimos a continuación:

(5)

(6)

Sustituyendo las correspondientes expresiones energéticas y efectuando las operaciones indicadas en las Ecuaciones Energéticas Minimales anteriores, se obtienen las ecuaciones siguientes:

(7)

(8)

-->

Las componentes del campo electromagnético para el sistema en reposo son funciones de las coordenadas (x₁, x₂, x₃ ) y del tiempo t , lo que expresamos a continuación:

(9)

(10)

Las coordenadas de un punto referidos al sistema S’ en movimiento están relacionados con las correspondientes referidas al sistema S estacionario, por las ecuaciones de Transformación Galileanas (1), (2), (3), y (4). Teniendo en cuenta estas ecuaciones, se obtiene las siguientes expresiones para las derivadas parciales respecto a las mismas:

(11)

(12)

Donde:

es el delta de Kronecker.

Como consecuencia de las expresiones (11), (12) se puede comprobar que se cumple la siguiente identidad del operador nabla:

(13)

Tomando la derivada total respecto al tiempo de D_ay B_a , se obtiene:

(14)

(15)

Teniendo en cuenta las expresiones (13), (14), (15), las ecuaciones (7), (8) se pueden escribir en la forma siguiente:

(16)

(17)

A continuación escribimos las ecuaciones (16) para : alfa = 1, 2, 3.

(18)

(19)

(20)

Para que las ecuaciones (18), (19), (20 referidas al sistema en movimiento S’ sean invariantes, es decir, formalmente idénticas a las correspondientes para el sistema estacionario S , de conformidad con el Principio de la invariancia de las Ecuaciones de Maxwell en sistemas inerciales , se deben cumplir las siguiente igualdades:

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

Completando la identificación despejamos H₃ y H₂ de las (26) y (28), y luego las sustituimos en la (18), obteniéndose la siguiente:

(29)

pero, teniendo en cuenta la tercera ecuación de Maxwell:

(30)

la (29) se puede escribir en la forma siguiente:

(31)

donde:

(32)

es la ecuación de transformación de la respectiva componente densidad de corriente.

Las ecuaciones de transformación de las componentes del campo magnético (25), (26), (28), y las (24), (27), (32) de las densidades de corriente, se pueden escribir en las siguientes formas vectoriales:

(33)

(34)

Procediendo en forma similar con la ecuación (17) el interesado podrá comprobar el cumplimiento de la invariancia de la correspondiente Ecuación de Maxwell y se obtiene la siguiente ecuación de transformación del campo eléctrico:

(35)

El interesado podrá comprobar que las ecuaciones de transformación (33), (34) y (35) son idénticas a las que se obtienen cuando se aproximan las correspondientes ecuaciones de transformación relativististas del campo electromagnético y la densidad de corriente (hacer click para visualizar ó bajar archivo PDF ), para el caso de un movimiento lento, es decir: para c >> v y (v/c)² = 0.